Ripetizioni



Come trovare k nelle funzioni numeriche


Pubblicato il 22 Maggio 2011 da Capu


Abbiamo studiato 4 diversi tipi di funzioni numeriche, a cui corrispondono 4 diverse equazioni e 4 diversi grafici:
  1. Proporzionalità diretta
    • Equazione: y = kx
    • Grafico: Retta passante per l'origine
  2. Proporzionalità quadratica
    • Equazione: y = kx2
    • Grafico: Due rami di parabola
  3. Proporzionalità inversa
    • Equazione: y = k/x
    • Grafico: Due rami di iperbole equilatera
  4. Lineare
    • Equazione: y = kx + b
    • Grafico: Retta non passante per l'origine (se b ≠ 0)
In ogni equazione abbiamo un valore k, che spesso mi è richiesto, data una tabella di valori, di trovare. A seconda della funzione numerica abbiamo 4 diversi modi:

Proporzionalità diretta
Questa è la più semplice, poichè abbiamo soltanto una moltiplicazione nell'equazione: ci basta invertirla e fare una divisione.
Diventerà quindi:
y = kx --> k = y/x
Se infatti nella seconda equazione noi scrivessimo invece di y il secondo membro della prima equazione (kx) avremmo:
k = kx/x
Che, evidentemente, restituisce k.

Proporzionalità quadratica
L'unica differenza con quella di prima è che la x è elevata al quadrato. Quindi, ci basta elevare la x al quadrato anche nella formula inversa:
y = kx2 --> k = y/x2

Proporzionalità inversa
Anche qua molto semplice. Come notiamo dall'equazione, il prodotto xy è sempre costante nella proporzionalità inversa, e questa costante è appunto k: ci basterà quindi moltiplicare tra loro una coppia di x e y per trovare già k:
y = k/x --> k = xy

Lineare
Qui la cosa diventa più difficile, poichè nell'equazione di una funzione lineare abbiamo anche un'addizione, e spesso il valore aggiunto non mi viene dato nel problema. Se ho però la coppia con x = 0, allora il valore di b è uguale al valore della y di quella coppia, mentre k la trovo con la formula che uso per la proprozionalità diretta.
Se invece non ho nemmeno la coppia con lo 0, allora bisogna ricorrere ad una formuletta:

y1 - y2
---------
x1 - x2

Che vuoldire questa formula? Come la si è ricavata?
Il segreto per capire queste formule è sempre di sostituire i valori. In questo caso ad esempio, possiamo sostituire y con la sua formula generatrice: kx + b.
E diventa:

ax1 + b - (ax2 + b)
--------------------
         x1 - x2

Togliamo le due b, perchè la seconda cambia segno e si annulla con la prima:

ax1 - ax2
---------
x1 - x2

Ora facciamo una cosa un po' difficile: raccogliamo i valori al numeratore secondo la lettera a: sarete d'accordo infatti che ax1 - ax2 è il risultato di a(x1 - x2):

a(x1 - x2)
------------
x1 - x2

Ma di cosa ci accorgiamo adesso? Che possiamo semplificare x1 - x2!
E se lo facciamo rimane solo a, che era proprio ciò che cercavo.